Études de fonctions exponentielles ou logarithmiques avec corrigés

Directives

Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant

  • ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
  • signe de la fonction;
  • dérivée, signe de la dérivée;
  • dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
  • tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
  • limites et asymptotes éventuelles;
  • graphique de la fonction.

Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.

Études de fonctions exponentielles ou logarithmiques

Exercice corrigé el1-01
\[ f(x)=\ln\left(x+\frac{1}{x}\right) \]

Exercice corrigé el1-02
\[f(x)=\left| x\right| ^x\] Directive: l'usage de la dérivée seconde n'est pas demandé.
Indication: \[ a^x = \mathrm{e}^{x \ln(a) } \quad \textrm{où } a>0 \textrm{ et } x \in \mathbb{R} \]

Exercice corrigé el1-03
\[f(x)=x + \ln\left(\frac{1+3 e^{-2x}}{1-e^{-x}}\right) \] Directive: sans faire usage de la dérivée seconde.

Exercice corrigé el1-04
\[f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-1/x}}{x^2}\]

Exercice corrigé el1-05
\[f(x)=-x \ln(2 x-1)\] Indication: Déterminer le signe de la dérivée seconde avant le signe de la dérivée première.

Exercice corrigé el1-06
\[f(x)= \ln(2 \ln(x)-1 )\]

Exercice corrigé el1-07
\[f(x)=\ln\left(\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)\]

Exercice corrigé el1-08
\[f(x)=x\left(-2 (\ln(x))^2 + \ln(x) + 1\right)\]

Exercice corrigé el1-09
\[f(x)=\frac{(\ln(x))^2}{x}\]

Exercice corrigé el1-10
\[f(x)=\frac{x^3}{\mathrm{e}^x}\]

Exercice corrigé el1-11
\[f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^2}\]

Exercice corrigé el1-12
\[f(x)=\left( 1-\frac{1}{x}\right)\mathrm{e}^x\]

Exercice corrigé el1-13
\[f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\]

Exercice corrigé el1-14
\[f(x)=x+\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\] Indication: Reporter l'étude du signe de f à la fin de l'étude.

Exercice corrigé el1-15
\[f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}\right) \]

Exercice corrigé el1-16
\[f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{1/x}\]

Exercice corrigé el1-17
\[f(x)= \ln\left(\frac{2 x}{x^2-1}\right)\]

Exercice corrigé el1-18
\[f(x)=\frac{1}{1+\ln(x)}\]

Exercice corrigé el1-19
Étudier la fonction h. Reporter l'étude du signe de h en fin d'étude. \[ h(x) = x-\ln(1+x)-x \ln(1+x) \] Étudier la fonction f \[f(x)= \frac{\ln(x+1)}{x}\] Indications:

  • Les résultats de l'étude de h sont utiles pour déterminer le signe de la dérivée de f.
  • Développer une méthode semblable pour étudier le signe de la dérivée seconde de f.

Exercice corrigé el1-20
\[f(x)=\ln\left(\ln\left(x^2+1\right)\right)\] Directive: sans faire usage de la dérivée seconde.

Exercice corrigé el2-01
Prologue: Étudier la fonction h, en reportant l'étude du signe à la fin de l'étude de h: \[h(x)=1+\ln(1+2 x)+2 x \ln(1+2 x)\] Faire une étude complète de la fonction f, sans faire usage de la dérivée seconde: \[f(x)=(\ln(2 x+1))^2-\frac{2}{2x+1}\] Indications: Reporter la détermination des zéros de f à la fin de l'étude. Au cours de l'étude de f, le signe de h peut être utile.
Directive: Calculer la valeur numérique du zéro (ou des zéros) de f à la précision de ±0.05

Exercice corrigé el2-02
\[f(x)=4 x \ln\left| 2x\right|\]

Exercice corrigé el2-03
\[f(x)=x \left( \ln^2\left| x\right| -2 \ln\left| x\right| \right)\]

Exercice corrigé el2-04
\[f(x)= \frac{x^2-1}{x}-3 \ln(x)\] Indication: Reporter l'étude du signe de la fonction à la fin de l'étude.
Directive: Déterminer la valeur numérique des zéros de f à la précision ±0.1

Exercice corrigé el3-01
\[f(x)=\mathrm{e}^x+x(\ln(x)-1-\mathrm{e})\] Directives et indications: déterminer dans l'ordre: le signe de la dérivée seconde, un zéro évident de la dérivée première, le signe de la dérivée première, le tableau de variations de la fonction; les valeurs numériques des zéros de la fonction à la précision ±0.05

Exercice corrigé el3-02
\[f(x)=x \ln \left| x^2-1\right|\] Indication: le signe de f'' peut faciliter la détermination du signe de f'.

Exercice corrigé el3-03
a) Étudier la fonction h en reportant la détermination des zéros à la fin de l'étude. Déterminer le nombre de zéros de h ainsi que la valeur numérique de chacun d'eux à la précision de ±0.05 \[h(x)= 2-x-2 \ln(1+x)\] b) Faire une étude complète de la fonction \[f(x)= \frac{x \ln(x+1)}{x+1}\] Indication: le signe de h est utile pour déterminer le signe de la dérivée seconde de f.

Exercice corrigé el3-04
a) Faire une étude complète de la fonction h en reportant la détermination des zéros à la fin de l'étude \[h(x)= 1+x^2+\ln(x)\] Directive: Déterminer le zéro (ou les zéros) de h à la précision de ±0.05
b) Faire une étude de la fonction f sans faire usage de la dérivée seconde \[f(x)= \frac{x \ln(x)}{\sqrt{x^2+1}}\] Indication: le signe de h est utile dans l'établissement du signe de la dérivée de f.

Les corrigés ont été fabriqués comme suit :

  1. Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
    • le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le lecteur est invité à les assembler et les mettre en forme ; le graphique est donné ;
    • l'output est converti en langage LaTex.
  2. Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
  3. Le tableau de variations est ajouté après coup :
    • avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
    • avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
    • avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.
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