Directives
Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant
- ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
- signe de la fonction;
- dérivée, signe de la dérivée;
- dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
- tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
- limites et asymptotes éventuelles;
- graphique de la fonction.
Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.
Exercice corrigé el2-01
Prologue: Étudier la fonction h, en reportant l'étude du signe à la fin de l'étude de h:
\[h(x)=1+\ln(1+2 x)+2 x \ln(1+2 x)\]
Faire une étude complète de la fonction f, sans faire usage de la dérivée seconde:
\[f(x)=(\ln(2 x+1))^2-\frac{2}{2x+1}\]
Indications: Reporter la détermination des zéros de f à la fin de l'étude. Au cours de l'étude de f, le signe de h peut être utile.
Directive: Calculer la valeur numérique du zéro (ou des zéros) de f à la précision de ±0.05
Exercice corrigé el2-02
\[f(x)=4 x \ln\left| 2x\right|\]
Exercice corrigé el2-03
\[f(x)=x \left( \ln^2\left| x\right| -2 \ln\left| x\right| \right)\]
Exercice corrigé el2-04
\[f(x)= \frac{x^2-1}{x}-3 \ln(x)\]
Indication: Reporter l'étude du signe de la fonction à la fin de l'étude.
Directive: Déterminer la valeur numérique des zéros de f à la précision ±0.1
Exercice corrigé el3-01
\[f(x)=\mathrm{e}^x+x(\ln(x)-1-\mathrm{e})\]
Directives et indications: déterminer dans l'ordre: le signe de la dérivée seconde, un zéro évident de la dérivée première, le signe de la dérivée première, le tableau de variations de la fonction; les valeurs numériques des zéros de la fonction à la précision ±0.05
Exercice corrigé el3-02
\[f(x)=x \ln \left| x^2-1\right|\]
Indication: le signe de f'' peut faciliter la détermination du signe de f'.
Exercice corrigé el3-03
a) Étudier la fonction h en reportant la détermination des zéros à la fin de l'étude. Déterminer le nombre de zéros de h ainsi que la valeur numérique de chacun d'eux à la précision de ±0.05
\[h(x)= 2-x-2 \ln(1+x)\]
b) Faire une étude complète de la fonction
\[f(x)= \frac{x \ln(x+1)}{x+1}\]
Indication: le signe de h est utile pour déterminer le signe de la dérivée seconde de f.
Exercice corrigé el3-04
a) Faire une étude complète de la fonction h en reportant la détermination des zéros à la fin de l'étude
\[h(x)= 1+x^2+\ln(x)\]
Directive: Déterminer le zéro (ou les zéros) de h à la précision de ±0.05
b) Faire une étude de la fonction f sans faire usage de la dérivée seconde
\[f(x)= \frac{x \ln(x)}{\sqrt{x^2+1}}\]
Indication: le signe de h est utile dans l'établissement du signe de la dérivée de f.
Les corrigés ont été fabriqués comme suit :
- Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
- le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le lecteur est invité à les assembler et les mettre en forme ; le graphique est donné ;
- l'output est converti en langage LaTex.
- Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
- Le tableau de variations est ajouté après coup :
- avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
- avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
- avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.
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