Directives
Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant
- ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
- signe de la fonction;
- dérivée, signe de la dérivée;
- dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
- tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
- limites et asymptotes éventuelles;
- graphique de la fonction.
Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.
Étude de fonctions polynomiales
Exercice corrigé r0-01
Discuter, en fonction du paramètre réel m, le nombre de racines de l’équation
\[x^3+2 x^2=8x+m\]
Directive : Faire une étude complète la fonction
\[ f(x) = x^3+2 x^2-8x\]
puis discuter graphiquement le nombre de solutions de l’équation
\[ f(x) = m \]
Exercice corrigé r0-02
On donne la fonction
\[f(x)= x^3 + b x^2 + c x\]
où b et c sont deux constantes.
Calculer les valeurs qu'il faut attribuer à b et c pour que la fonction possède un extremum en x=3 et que la tangente à f en x=3 coupe le graphe de la fonction f en x=1.
Étude de fractions rationnelles avec calcul numérique de zéros
Exercice corrigé r2-01
\[f(x)= \frac{2x^3-x^2+1}{x^3}\]
Indication : Reporter la détermination des zéros de f à la fin de l’étude.
Déterminer la valeur numérique du zéro de f à la précision de ±0.05
Exercice corrigé r2-02
\[h(x)= x^3-x^2+4\]
Directive : Reporter la détermination des zéros de h à la fin de l'étude de h.
Calculer les zéros de h à la précision de ±0.05
\[f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}-1\]
Indication : Les résultats de l'étude de h sont utiles pour l'étude de f.
Exercice corrigé r2-03
\[f(x)=\frac{x^2}{x^3+1}\]
Directive : On déterminera les valeurs numériques des points d’inflexion à la précision de ± 0.05
Exercice corrigé r2-04
\[f(x)= \frac{27 x}{(x-2)^2}-x-3\]
Indication : Reporter la détermination des zéros de la fonction à la fin de l’étude.
Calculer leurs valeurs numériques à la précision de ±0.05
Les corrigés ont été fabriqués comme suit :
- Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
- le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le graphique est donné ;
- l'output est converti en langage LaTex.
- Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
- Le tableau de variations est ajouté après coup :
- avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
- avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
- avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.
Exception : l'exercice r1-09 a été rédigé en Mathematica sans utiliser le package EtudeFct, puis directement imprimé en PDF.
|