Directives
Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant
- ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
- signe de la fonction;
- dérivée, signe de la dérivée;
- dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
- tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
- limites et asymptotes éventuelles;
- graphique de la fonction.
Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.
Études de fonctions irrationnelles
Exercice corrigé i0-01
\[f(x)= \frac{\sqrt{\left| x^2-4 x\right| }}{x}\]
Exercice corrigé i0-02
\[f(x)= 2 x - 3 -\sqrt{4 x^2+6 x}\]
Exercice corrigé i1-01
\[ f(x)= x\sqrt{ \left| \frac{1-x}{1+x} \right| }\]
Exercice corrigé i1-02
\[f(x)= x+\sqrt{ \left| x^2-1 \right| }\]
Exercice corrigé i1-03
\[f(x)=\text{ }\sqrt{\left| 4x^2+x\right| }-x\]
Exercice corrigé i2-01
\[f(x)= x \left( \sqrt{ \left| 1-x^2 \right| }-x\right)\]
Directive : Il n'est pas demandé de faire usage de la dérivée seconde.
Exercice corrigé i2-02
Dans le but de préparer l'étude de la dérivée seconde de la fonction f, étudier préalablement la fonction h et déterminer les valeurs numériques des zéros de h à la précision ±0.05
\[h(x)= 1-3 x+x^3\]
Étudier ensuite la fonction irrationnelle f avec usage de la dérivée seconde :
\[f(x)= \frac{\sqrt{x^4+2 x^3+x^2}}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\]
Exercice corrigé i2-03
Étudier la fonction
\[ f(x)=\sqrt{\frac{-4 x^3}{-x+2}} \]
en traitant les points suivants :
- domaine de définition;
- zéro(s) et signe de f ;
- limites et asymptotes (verticales et affines);
- extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde);
- graphique.