Études de fonctions irrationnelles avec corrigés

Directives

Pour tous les exercices (sauf mention contraire) : faire une étude complète de la fonction donnée incluant

• ensemble de définition; le cas échéant : parité, périodicité;
• signe de la fonction;
• dérivée, signe de la dérivée;
• dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
• tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
• limites et asymptotes éventuelles;
• graphique de la fonction.

Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre : méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre.

Études de fonctions irrationnelles

Exercice corrigé i0-01
$$f(x)= \frac{\sqrt{\left| x^2-4 x\right| }}{x}$$

Exercice corrigé i0-02
$$f(x)= 2 x - 3 -\sqrt{4 x^2+6 x}$$

Exercice corrigé i1-01
$$f(x)= x\sqrt{ \left| \frac{1-x}{1+x} \right| }$$

Exercice corrigé i1-02
$$f(x)= x+\sqrt{ \left| x^2-1 \right| }$$

Exercice corrigé i1-03
$$f(x)=\text{ }\sqrt{\left| 4x^2+x\right| }-x$$

Exercice corrigé i2-01
$$f(x)= x \left( \sqrt{ \left| 1-x^2 \right| }-x\right)$$ Directive : Il n'est pas demandé de faire usage de la dérivée seconde.

Exercice corrigé i2-02
Dans le but de préparer l'étude de la dérivée seconde de la fonction f, étudier préalablement la fonction h et déterminer les valeurs numériques des zéros de h à la précision ±0.05 $$h(x)= 1-3 x+x^3$$ Étudier ensuite la fonction irrationnelle f avec usage de la dérivée seconde : $$f(x)= \frac{\sqrt{x^4+2 x^3+x^2}}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}$$

Exercice corrigé i2-03
Étudier la fonction $$f(x)=\sqrt{\frac{-4 x^3}{-x+2}}$$ en traitant les points suivants :

• domaine de définition;
• zéro(s) et signe de f ;
• limites et asymptotes (verticales et affines);
• extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde);
• graphique.

Les corrigés ont été fabriqués comme suit :

1. Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
   • le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions ; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires ; le lecteur est invité à les assembler et les mettre en forme ; le graphique est donné ;
   • l'output est converti en langage LaTex.
2. Avec un éditeur Tex : la mise en forme du document LaTex est retravaillée, et la conversion en PDF est effectuée.
3. Le tableau de variations est ajouté après coup :
   • avec l'application en ligne Créer le tableau de variations, un fichier .svg est enregistré ;
   • avec l'application gratuite GIMP, l'image .svg est convertie en fichier .eps ;
   • avec l'éditeur Tex, l'image .eps est insérée dans le document LaTex.

Exception : l'exercice i2-03 a été rédigé en Mathematica sans utiliser le package EtudeFct.