Introduction

On peut construire un triangle rectangle dont les trois côtés ont pour mesure des nombres entiers:

Est - il possible de construire un carré dont le côté b et la diagonale a soient tous deux mesurés par des nombres entiers ? (La figure ci-dessous représente la moitié du carré qui est un triangle rectangle isocèle).

D'après le théorème de Pythagore

S'il est possible de trouver des entiers a, b  qui vérifient cette égalité, on dit que est un nombre rationnel, sinon on dit que est un nombre irrationnel.

Démonstration de

Supposons par l'absurde que soit rationnel: alors où a, b sont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction ne puisse plus être simplifiée).  

Puisque est pair, a est pair et a=2 p  où p est un entier positif.

Puisque est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux.

Puisque l'hypothèse ≪ est rationnel≫ conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir ≪ est irrationnel≫.

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