Durée du service de la rente

Énoncé du problème

À sa retraite, une personne dispose d'un capital c.
Ce capital est placé et produit un intérêt dont le taux annuel, supposé fixe, est i.
Chaque mois, une rente constante a est servie.
Chaque année, des frais de gestion f sont facturés.
En combien d'années le capital sera-t-il épuisé?
On ne tient pas compte des autres paramètres (variabilité du taux, évolution du coût de la vie, impôts, ...)

Variantes

Calcul de l'intérêt annuel

Pendant le 1-er mois, les intérêts sont produits par le montant c, pendant le 2-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-a), pendant le 3-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-2a), ..., pendant le 12-ème mois, les intérêts sont produits par le montant (c-11a), ce qui nous donne

\begin{equation*} \begin{aligned} &c \frac{i}{12} + (c-a) \frac{i}{12} +(c-2a) \frac{i}{12} \\ &+(c-3a) \frac{i}{12} +(c-4a) \frac{i}{12} +(c-5a) \frac{i}{12} \\ &+(c-6a) \frac{i}{12}+(c-7a) \frac{i}{12} +(c-8a) \frac{i}{12} \\ &+(c-9a) \frac{i}{12} +(c-10a)\frac{i}{12} +(c-11a) \frac{i}{12} \end{aligned} \end{equation*}

En simplifiant cette expression, on obtient

\[c i -\frac{11 a i}{2}\]

Évolution annuelle du capital

Suivons l'évolution du capital pendant un an. Le capital est diminué des 12 rentes mensuelles, augmenté de l'intérêt annuel et diminué des frais de gestion, ce qui nous donne le capital au début de l'année suivante:

next(c) = c - 12 a + c*i - (11 a*i)/2 - f

Épuisement du capital

Pour calculer la durée du service de la rente, on peut utiliser l'algorithme suivant:

Input c, i, a, f;
n = 0;
While c > 0 do

Print n, c;
n = n+1;
c = next(c);

Endwhile;
Print "Pour terminer la ", n, "-ème année, il manque ", -c;

Cet algorithme peut être mis en oeuvre de multiples manières, par exemple au moyen d'une feuille de calculs Excel, ou un programme codé dans un langage de programmation (ci-dessous, en PHP).

Calcul en ligne

Alternative: la rente viagère

Dans le cas où le capital est la ressource principale du financement de la retraite, la personne tombe à l'assistance publique à la fin de la période. Afin d'éviter ce risque, on peut demander une offre à une compagnie d'assurance pour transformer le capital en une rente viagère. Le calcul se base alors sur une table de mortalité, et la rente est servie à vie. Voir Espérance de vie