Division par zéro

Division par zéro
L'inverse de 0 L'inverse du nombre réel a, noté est le nombre réel b qui vérifie la propriété Par exemple, l'inverse de 5 est 0.2 car 5 × 0.2 = 1. Dans le but de déterminer l'inverse de 0, noté nous aimerions trouver le nombre b tel que Or, nous savons que, pour tout nombre réel b, Donc, il n'existe aucun nombre réel b tel que ce qui démontre que 0 n'a pas d'inverse. En résumé, Eviter la confusion Il ne faut pas confondre la question précédente avec la division de 0 par un nombre non nul, opération qui ne présente aucune difficulté particulière, par exemple : Application concrète S'il faut répartir équitablement 0 Euro entre 10 personnes, la division est possible et donne le résultat suivant: chacune des 10 personnes reçoit très exactement 0 Euro. Par contre, s'il faut répartir équitablement 100 Euros entre 0 personne, nous avons un problème. La répartition n'est pas possible : on ne peut pas dire combien chacun reçoit puisqu'il n'y a aucun «chacun». Les 100 Euros sont en déshérence ! Limites au voisinage de zéro Limite à droite, ou limite par valeurs supérieures Pour des valeurs de x tendant vers 0 par valeurs supérieures, par exemple 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes 10, 100, 1000, 10000, ... On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 par valeurs supérieures est +∞». Limite à gauche ou limite par valeurs inférieures Pour des valeurs de x tendant vers 0 par valeurs inférieures, par exemple -0.1, -0.01, -0.001, -0.0001, ... les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes -10, -100, -1000, -10000, ... On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 par valeurs inférieures est -∞». Limite en 0 Pour x tendant vers 0, comment se comporte 1/x ? Lorsqu'on ne précise pas la manière dont x tend vers 0, il faut comprendre que x peut tendre vers 0 de n'importe quelle manière, par exemple +0.1, -0.01, +0.001, -0.0001, +0.00001, ... les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes +10, -100, +1000, -10000, +100000, ... En choisissant d'autres exemples, on obtient des comportements différents. Ainsi, il n'est pas possible de donner une valeur unique comme réponse. On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 n'existe pas».
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L'inverse de 0

L'inverse du nombre réel a, noté

est le nombre réel b qui vérifie la propriété

Par exemple, l'inverse de 5 est 0.2 car 5 × 0.2 = 1.

Dans le but de déterminer l'inverse de 0, noté

nous aimerions trouver le nombre b tel que

Or, nous savons que, pour tout nombre réel b,

Donc, il n'existe aucun nombre réel b tel que

ce qui démontre que 0 n'a pas d'inverse. En résumé,

Eviter la confusion

Il ne faut pas confondre la question précédente avec la division de 0 par un nombre non nul, opération qui ne présente aucune difficulté particulière, par exemple :

Application concrète

S'il faut répartir équitablement 0 Euro entre 10 personnes, la division est possible et donne le résultat suivant: chacune des 10 personnes reçoit très exactement 0 Euro.

Par contre, s'il faut répartir équitablement 100 Euros entre 0 personne, nous avons un problème. La répartition n'est pas possible : on ne peut pas dire combien chacun reçoit puisqu'il n'y a aucun «chacun». Les 100 Euros sont en déshérence !

Limites au voisinage de zéro

Limite à droite, ou limite par valeurs supérieures

Pour des valeurs de x tendant vers 0 par valeurs supérieures, par exemple

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...

les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes

10, 100, 1000, 10000, ...

On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 par valeurs supérieures est +∞».

Limite à gauche ou limite par valeurs inférieures

Pour des valeurs de x tendant vers 0 par valeurs inférieures, par exemple

-0.1, -0.01, -0.001, -0.0001, ...

les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes

-10, -100, -1000, -10000, ...

On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 par valeurs inférieures est -∞».

Limite en 0

Pour x tendant vers 0, comment se comporte 1/x ? Lorsqu'on ne précise pas la manière dont x tend vers 0, il faut comprendre que x peut tendre vers 0 de n'importe quelle manière, par exemple

+0.1, -0.01, +0.001, -0.0001, +0.00001, ...

les inverses 1/x prennent les valeurs correspondantes suivantes

+10, -100, +1000, -10000, +100000, ...

En choisissant d'autres exemples, on obtient des comportements différents. Ainsi, il n'est pas possible de donner une valeur unique comme réponse.

On exprime ce comportement en disant que «la limite de 1/x pour x tendant vers 0 n'existe pas».