Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique
Idée de la démonstration
Introduction
Voici les premières décimales du nombre « racine carrée de 2 » :
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 738...
En utilisant un résultat établi antérieurement : √2 est irrationnel, on peut déduire du théorème suivant que le développement décimal de √2 est illimité et non périodique.
Théorème
Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique.
Théorème équivalent (contraposition du théorème précédent)
Soit x un nombre réel. Si le développement décimal de x est fini ou (illimité et périodique), alors x est un nombre rationnel.
Idée de la démonstration
1. Dans le cas du développement décimal fini
Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons un exemple: x = 84.537; on a donc 
, ce qui montre que x est rationnel.
Cette idée peut être généralisée en une démonstration formelle.
2. Dans le cas du développement décimal illimité et périodique
Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons comme exemple x = 4.5673673673673... = 4.5
;
on a 10 x = 45.
et 10000 x = 45673.
(remarquez que le point décimal est placé immédiatement devant une période et que les deux nombres ont des parties décimales identiques) d'où
ce qui montre que x est rationnel.
Cette méthode peut être généralisée en une démonstration formelle.
Règle pour le cas du développement décimal illimité et périodique
En extrayant et nommant
- la partie décimale non périodique, ici 5, soit 1 chiffre non périodique;
- la partie décimale périodique, ici 673, soit 3 chiffres périodiques;
on peut formuler une règle générale
- le dénominateur 9990 est formé d'autant de 9 que de chiffres périodiques, suivis d'autant de 0 que de chiffres non périodiques;
- le numérateur est la différence entre deux nombres formés comme suit:
- les chiffres jusqu'à la fin de la première période, ici 45673;
- les chiffres jusqu'avant la première période, ici 45.