Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodiqueIdée de la démonstration |
IntroductionVoici les premières décimales du nombre « racine carrée de 2 » : 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 738... En utilisant un résultat établi antérieurement : √2 est irrationnel, on peut déduire du théorème suivant que le développement décimal de √2 est illimité et non périodique. ThéorèmeLe développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique. Théorème équivalent (contraposition du théorème précédent) Soit x un nombre réel. Si le développement décimal de x est fini ou (illimité et périodique), alors x est un nombre rationnel. Idée de la démonstration1. Dans le cas du développement décimal fini
Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons un exemple: x = 84.537; on a donc Cette idée peut être généralisée en une démonstration formelle. 2. Dans le cas du développement décimal illimité et périodique
Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons comme exemple x = 4.5673673673673... = 4.5
ce qui montre que x est rationnel. Règle pour le cas du développement décimal illimité et périodique
En extrayant et nommant
on peut formuler une règle générale
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