Corrigé du problème de synthèse 6-21 au moyen d'un calculateur pour la géométrie analytique de l'espace

Corrigé du problème de synthèse 6-21 au moyen d'un calculateur pour la géométrie analytique de l'espace
Enoncé du problème On donne A(5, 0, 2), B(-1, -2, 2) et C(2, 0, 5). a) On suppose que le triangle ABC est opaque. Le point P(7, -8, 25) est-il visible depuis l'origine O(0, 0, 0) ? b) Donnez un système d'équations paramétriques de la hauteur issue de C du triangle ABC. c) Que vaut l'angle entre les droites CA et CB ? d) Déterminez le centre des sphères passant par A, B et C et tangentes à la droite {x = 2-u, y = 0, z = 1+2u}. Générateur de corrigés Le formulaire ci-dessous est rempli pour résoudre l'exercice. Actionnez le bouton «Exécuter les instructions» pour envoyer les données au calculateur. Celui-ci retournera les résultats intermédiaires et finaux.
Plan de travail Exercice 6-21; ;
Instructions 10: A = pt 5 0 2; 20: B = pt -1 -2 2; 30: C = pt 2 0 5; 40: O = pt 0 0 0; 50: P = pt 7 -8 25; 100: ; 110: p = sea_param A B C; 120: cart p; 130: valcart #120 O P; 140: OP = sea_param O P; 150: P' = inter p OP; 160: valparam p P'; 200: ; 210: AB = sea_param A B; 220: H = projorth C AB; 230: haut = sea_param C H; 300: ; 310: angle A C B; 400: ; 410: dt = sea_param 2 0 1 -1 0 2; 420: mAB = mediateur A B; 430: mBC = mediateur B C; 440: dc = inter_param mAB mBC; 450: ; 460: Z1 = pt dc 20\|-2\|70; 470: float Z1; 480: Z2 = pt dc 20\|2\|70; 490: float Z2; 600: ; 610: dist Z1 A; 620: dist Z1 B; 640: dist Z1 C; 650: dist Z1 dt; 660: dist Z2 A; 670: dist Z2 B; 680: dist Z2 C; 690: dist Z2 dt; Commentaires 100: --- Question a) ---; 110: p = plan A B C; 120: Idem; 130: Les points O et P sont situés de part et d'autre du plan ABC; 150: P' = point du plan ABC situé sur la ligne de visée OP; 160: (Réponse:) le point P' est à l'intérieur du triangle ABC si et seulement si (µ1 est positif, µ2 est positif et (µ1+µ2) est inférieur à 1). C'est le cas ici, donc le point P n'est pas visible depuis l'origine; 200: --- Question b) ---; 210: Côté AB; 220: H = (pied de la hauteur abaissée de C sur AB) = (projection orthogonale de C sur AB); 230: (Réponse:) équation de la hauteur issue de C; 300: --- Question c) ---; 310: Angle entre les vecteurs CA et CB; 400: --- Question d) --- Le centre des sphères appartient à la droite intersection des plans médiateurs AB et BC; 410: dt = droite tangente donnée; 440: dc = droite des centres; 450: Déterminer les points Z de dc tels que dist(Z, A)^2 = dist(Z, dt)^2. En développant, on obtient µ^2 -40µ + 120 = 0, puis t = 20 ± 2*sqrt(70); 460: (Réponse:) Centre d'une sphère; 470: Idem; 480: (Réponse:) Centre de l'autre sphère; 490: Idem; 600: --- Vérifications ---;

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Instructions

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100: --- Question a) ---;
110: p = plan A B C;
120: Idem;
130: Les points O et P sont situés de part et d'autre du plan ABC;
150: P' = point du plan ABC situé sur la ligne de visée OP;
160: (Réponse:) le point P' est à l'intérieur du triangle ABC si et seulement si (µ1 est positif, µ2 est positif et (µ1+µ2) est inférieur à 1). C'est le cas ici, donc le point P n'est pas visible depuis l'origine;
200: --- Question b) ---;
210: Côté AB;
220: H = (pied de la hauteur abaissée de C sur AB) = (projection orthogonale de C sur AB);
230: (Réponse:) équation de la hauteur issue de C;
300: --- Question c) ---;
310: Angle entre les vecteurs CA et CB;
400: --- Question d) --- Le centre des sphères appartient à la droite intersection des plans médiateurs AB et BC;
410: dt = droite tangente donnée;
440: dc = droite des centres;
450: Déterminer les points Z de dc tels que dist(Z, A)^2 = dist(Z, dt)^2. En développant, on obtient µ^2 -40µ + 120 = 0, puis t = 20 ± 2*sqrt(70);
460: (Réponse:) Centre d'une sphère;
470: Idem;
480: (Réponse:) Centre de l'autre sphère;
490: Idem;
600: --- Vérifications ---;

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