Corrigé du problème de synthèse 6-13 au moyen d'un calculateur pour la géométrie analytique de l'espace
Enoncé du problème a) Soient p et p' deux plans qui forment entre eux un angle aigu φ. On considère un rectangle σ contenu dans p et dont un côté est parallèle à la droite d'intersection p ∩ p'. Notons σ' la projection orthogonale de σ sur p'. Démontrez que aire(σ') = aire(σ).cos(φ). b) Généralisez au cas où σ est une partie quelconque du plan p. c) Soient A(3, 2, 5), B(3, 1, 6) et C(5, 2, 6). Déterminez l'aire de la projection orthogonale du triangle ABC sur le plan d'équation 3x - 2y + z = 0. Générateur de corrigés Le formulaire ci-dessous est rempli pour résoudre l'exercice. Actionnez le bouton «Exécuter les instructions» pour envoyer les données au calculateur. Celui-ci retournera les résultats intermédiaires et finaux.
Plan de travail Exercice 6-13; ; a) La longueur du côté parallèle l'intersection des deux plans demeure inchangée par projection orthogonale.; La longueur du côté perpendiculaire à l'intersection des deux plans est multipliée par cos(φ) par projection orthogonale.; Donc, l'aire du rectangle est multipliée par cos(φ) par projection orthogonale.; ; b) Pour une surface finie quelconque du plan, on peut la recouvrir d'une famille de rectangles (dont un côté est parallèle à l'intersection) de telle sorte que l'écart entre la surface et la famille de rectangles soit aussi petite que l'on veut. La règle a) s'appliquant à chaque petit rectangle, il s'ensuit que l'aire de la surface est multipliée par cos(φ) par projection orthogonale.; ;
Instructions 100: ; 110: A = pt 3 2 5; 120: B = pt 3 1 6; 130: C = pt 5 2 6; 140: p' = cart 3 -2 1 0; 150: p = cart A B C; 160: angle p p'; 170: cosphi = cos #160; 180: base = dist A B; 190: AB = sea_param A B; 200: hauteur = dist C AB; 210: aire = prod base hauteur; 220: aire = prod 1/2 aire; 230: aire' = prod aire cosphi; 240: float aire'; 400: ; 410: A' = projorth A p'; 420: B' = projorth B p'; 430: C' = projorth C p'; 440: base' = dist A' B'; 450: A'B' = sea_param A' B'; 460: hauteur' = dist C' A'B'; 470: aire' = prod base' hauteur'; 480: aire' = prod 1/2 aire'; Commentaires 100: --- Question c) ---; 140: p' = plan sur lequel s'effectue la projection; 150: p = plan que l'on projette orthogonalement sur p'; 160: φ =; 170: cos(φ) =; 180: Base du triangle ABC; 190: Droite AB; 200: Hauteur du triangle ABC; 220: Aire du triangle ABC; 230: Aire du triangle A'B'C' calculée avec la méthode de question b); 400: --- Vérification (non demandée) ---; 410: A' = projection orthogonale de A sur p'; 440: Base du triangle A'B'C'; 460: Hauteur du triangle A'B'C'; 480: Aire du triangle A'B'C' calculée avec les projections des points;

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Corrigé du problème de synthèse 6-13 au moyen d'un calculateur pour la géométrie analytique de l'espace

Enoncé du problème

a) Soient p et p' deux plans qui forment entre eux un angle aigu φ.
On considère un rectangle σ contenu dans p et dont un côté est parallèle à la droite d'intersection p ∩ p'.
Notons σ' la projection orthogonale de σ sur p'. Démontrez que aire(σ') = aire(σ).cos(φ).

b) Généralisez au cas où σ est une partie quelconque du plan p.

c) Soient A(3, 2, 5), B(3, 1, 6) et C(5, 2, 6).
Déterminez l'aire de la projection orthogonale du triangle ABC sur le plan d'équation 3x - 2y + z = 0.

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