Enoncé de l'exercice On donne une droite d et un plan p. La droite d est-elle disjointe de p, incluse dans p ou coupe-t-elle p ? a) d: {x = 3+2t, y = 5-2t, z = 3+2t}; p: 2x +y -z = 0; b) d: {x -2y +z = 4, x +3y -2z = 0}; p: 3x -2y +4z = 0; c) d: {x = 2-3t, y = 3+t, z = 1-t}; p: 4x +y -11z = 0; d) d: {x = -4-5t, y = 8+6t, z = 3-t}; p: 2x +3y -z = 5; e) d: {5x -3y +2z -5 = 0, 2x -y -z -1 = 0}; p: 4x -3y +7z -7 =0 .
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Instructions 100: ; 110: d = sea_param 3 5 3 2 -2 2; 120: p = cart 2 1 -1 0; 130: inter p d; 200: ; 210: cart 1 -2 1 -4; 220: cart 1 3 -2 0; 230: d = inter_param #210 #220; 240: p = cart 3 -2 4 0; 250: inter p d; 300: ; 310: d = sea 2 3 1 -3 1 -1; 320: p = cart 4 1 -11 0; 330: inter p d; 400: ; 410: d = sea -4 8 3 -5 6 -1; 420: p = cart 2 3 -1 -5; 430: inter p d; 500: ; 510: cart 5 -3 2 -5; 520: cart 2 -1 -1 -1; 530: d = inter_param #510 #520; 540: p = cart 4 -3 7 -7; 550: inter p d;
Commentaires 100: --- Partie a) ---; 130: Dans l'équation du plan p: 2x+y-z=0, remplacer x = 3 + 2t, y = 5 - 2t, z=3+2t. On obtient t, puis (x,y,z). Réponse: la droite et le plan sont donc strictement parallèles. Ici, une méthode particulière consiste à vérifier que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, mais qu'un point d'attache de la droite n'appartient pas au plan; 200: --- Partie b) ---; 230: Pour la droite d, conversion de la forme cartésienne à la forme paramétrique; 250: Dans l'équation du plan p: 3x-2y+4z=0, remplacer x = 12/5 + t, y = -4/5 + 3t, z = 5t. On obtient t, puis (x,y,z). Réponse: la droite et le plan sont donc sécants.; 300: --- Partie c) ---; 330: Dans l'équation du plan p: 4x+y-11z=0, remplacer x=2-3t, y=3+t, z=1-t. On obtient t, puis (x,y,z). Réponse: la droite est donc incluse dans le plan. Ici, une méthode particulière consiste à vérifier que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, et qu'un point d'attache de la droite appartient au plan; 400: --- Partie d) ---;; 430: Dans l'équation du plan p: 2x+3y-z=5, remplacer x=-4-5t, y =8+6t, z=3-t. On obtient t, puis (x,y,z). Réponse: la droite et le plan sont donc sécants; 500: --- Partie e) ---; 530: Pour la droite d, conversion de la forme cartésienne à la forme paramétrique; 550: Dans l'équation du plan p: 4x-3y+7z-7=0, remplacer x = -2 + 5t, y = -5 + 9t, z = t. On obtient t, puis (x,y,z). Réponse: la droite est donc incluse dans le plan. Ici, une méthode particulière consiste à vérifier que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, et qu'un point d'attache de la droite appartient au plan;