Une loi
déterministe relativement simple peut engendrer un système d'une
complexité inouïe.
Définition de l'ensemble
de Mandelbrot
Pour
chaque point (a, b) du plan, on considère la transformation
T du plan: (x, y) ---> (x^2 -
y^2 + a,
2 x y + b),
puis la suite infinie de points du plan P0 = (0, 0),
P1 = T(P0) = (a, b), P2 =T (P1), P3 = T(P2), ...
Si la
suite de points est bornée, alors le point (a, b) appartient à
l'ensemble de Mandelbrot. Par contre, si une sous-suite tend vers
l'infini, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de
Mandelbrot.
Réalisation pratique
(approximation)
On se limite à une suite finie de points P0, P1, P2, ...,
dont le dernier indice sera dénommé nbIter.
Si la suite de points demeure dans le carré [-2;
2] x [-2; 2], alors (a, b) appartient à l'ensemble de
Mandelbrot.
Par contre, si un point sort du carré, alors (a,
b) n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot.
Algorithme
Input (a, b)
(x, y) = (0, 0)
n = 0; nbIter = 1023
Tant que (-2 <= x <= 2) et (-2 <= y <=
2) et (n < nbIter)
(x, y) = (x^2 - y^2 +
a, 2 x y + b)
n = n + 1
Output n
Interprétation et programme
Si
n = 0, alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de
Mandelbrot et le pixel (a, b) est coloré en bleu;
si
n = nbIter, alors (a, b) appartient (probablement) à l'ensemble de
Mandelbrot et
le pixel (a, b) est coloré en rouge;
si (0 < n <
nbIter) alors (a, b) n'appartient pas à l'ensemble de
Mandelbrot et le pixel (a, b) prend une couleur
intermédiaire selon une échelle en usage pour les températures.
Fractale
L'ensemble de Mandelbrot est un objet fractal:
chacune de ses parties, aussi petite que l'on veut, est similaire au
tout,
comme le montre la suite de zooms ci-dessous.
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