Règle des signes: pourquoi ≪ moins fois moins égale plus ≫ ?

Aspect algébrique

Les règles des signes sont des conséquences des règles du calcul algébrique.

L'opposé de l'opposé

Selon une propriété des groupes commutatifs notés additivement, tout nombre réel  x possède un opposé noté (-x) tel que

Par commutativité,

Il s'ensuit que l'opposé de (-x) est x, donc

En particulier, pour la valeur x=1,

Multiplication par (-1)

Multipler par (-1) équivaut à prendre l'opposé, donc

En particulier, avec la valeur x=-1,

Une règle des signes            (-a) (-b) = a b

Résumé: pourquoi ≪ moins fois moins égale plus ≫ ?

Pourquoi  (-1)(-1) x = x ?
Parce que l'opposé de l'opposé redonne la valeur de départ.

Interprétation géométrique

Une interprétation géométrique de la multiplication par (- 1)

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de x par (-1), on construit le symétrique de x par rapport à 0, et on trouve (-x)

Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de  (-x) par (-1), on construit le symétrique de  (-x) par rapport à 0, ce qui donne x

Pourquoi ≪ moins fois moins égale plus ≫ ?

Pourquoi  (-1)(-1) x = x ?
Parce que le symétrique du symétrique redonne la position de départ.

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