Méthode géométrique pour répartir les augmentations sur le tour

Méthode géométrique pour répartir a augmentations sur un tour de n mailles

On raisonne sur des intervalles de nombres réels. Le tour de \( n \) mailles est représenté par l'intervalle \( [0, n] \) où la première maille correspond à l'intervalle \( [0, 1] \) et la n^e à l'intervalle \( [n-1, n] \). Les augmentations se faisant après une maille, la position de l'augmentation qui correspond à l'abscisse \( x \) est désignée par les nombre entier \( m=\text{round}(x) \).

La répartition uniforme de \( a \) abscisses \( x \) dans un intervalle \( [u, v] \), extrémités comprises, est donnée par

\[ \begin{split} x_i = u + i \frac{v-u}{a} \\ \text{ où } i \text{ va de } 0 \text{ à } a \end{split} \]

On pose \( u = 0 \) et \( v = n \), mais on se rappelle qu'on ne fait pas d'augmentation avant la première maille. On obtient les abscisses

\[ \begin{split} x_i = i \frac{n}{a} \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } a \end{split} \]

puis, finalement, les positions des mailles correspondantes

\[ \begin{split} m_i = \text{round}\left( i \frac{n}{a} \right) \\ \text{pour } i \text{ de } 1 \text{ à } a \end{split} \]

Exemple numérique

\( a = 6, \quad n = 40\)

\( i \)	\( x_i \)	\( m_i \)
1	6.667	7
2	13.333	13
3	20.000	20
4	26.667	27
5	33.333	33
6	40.000	40

Pour chaque position située entre deux mailles, on introduit un compteur d'augmentations \( c_j \) pour \( j \) de \( 1 \) à \( n \). Les compteurs restés à zéro ne sont pas affichés.

Les mailles intercalaires se comptant en formant des différences de positions, il est utile d'ajouter une ligne dépourvue de compteur à la position 0 :

\( j \)	\( c_j \)
0
7	1
13	1
20	1
27	1
33	1
40	1

La méthode géométrique ne se soucie pas de faire apparaître des séquences répétées d'augmentations. Aussi, le résultat s'exprime par la liste complète des augmentations à faire.

Liste des augmentations

La méthode géométrique produit une excellente répartition, mais elle n'est utilisée que lorsque le nombre d'augmentations est petit.

Méthode arithmétique

Contrairement à la méthode géométrique, la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions.

En règle générale, on recherche des régularités et on regroupe des actions qu'on peut répéter. Afin de limiter la complexité du résultat, la méthode arithmétique n'utilise que des descriptions dont le nombre de lignes est plus petit ou égal à trois.

Par exemple, pour \( n = 40 \) et \( a = 6 \), la méthode arithmétique fait apparaître des répétitions :

ce qui signifie :
{7 m, 1 augm, 7 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 7 m, 1 augm, 7 m, 1 augm, 6 m, 1 augm}

alors que la méthode géométrique donne un résultat un peu différent :
{7 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 7 m, 1 augm, 7 m, 1 augm, 6 m, 1 augm, 7 m, 1 augm}.

Calculateurs en ligne

Répartir les augmentations sur le tour

On peut choisir la méthode. En mode automatique, le calculateur utilise la méthode géométrique lorsque le nombre d'augmentations est plus petit ou égal à 11, et la méthode arithmétique pour 12 augmentations ou plus.