Les évènements improbables abondent

Introduction

Beaucoup de considérations épistémologiques s'interrogent à propos de probabilités infimes, par exemple au sujet de l'apparition de la vie ou de l'homo sapiens. Une perception subjective des probabilités entre en jeu et tend à rendre invraisemblables les évènements exceptionnels.

Les exemples qui suivent visent à montrer que des évènements improbables surviennent couramment et, s'ils sont répétés de nombreuses fois, ils deviennent assez probables.

C'est un résultat qu'il faut garder à l'esprit lorsqu'on veut donner une interprétation concrète à une très petite probabilité.

La sensibilité à des configurations particulières

Prenons l'exemple du tirage successif de six chiffres équiprobables.

Le résultat 246375 paraît être une issue ordinaire et ne dégage aucun sentiment d'avoir obtenu un résultat extraordinaire ou peu probable.

Par contre, le résultat 666666 paraît être un résultat extraordinaire et laisse l'impression d'avoir eu beaucoup de chance. Pourtant, ces deux résultats ont exactement la même probabilité, à savoir un millionième.

L'homme est sensible à certaines configurations qui obscursissent son jugement.

D'un autre point de vue, on peut dire de n'importe quel évènement qu'il est très improbable puisqu'il n'a qu'une chance sur un million d'apparaître. Bref, il n'apparaît que des évènements improbables.

Et pourtant, à chaque tirage, quelque chose d'improbable survient! L'évènement improbable est la règle. On ne doit pas être surpris qu'un évènement improbable survienne.

Le nombre d'essais est déterminant

En poursuivant l'exemple précédent, que se passe-t-il si l'on multiplie le nombre d'essais? Plus précisément, posons-nous la question suivante: combien d'essais faut-il réaliser pour que la probabilité d'obtenir 666666 soit supérieure ou égale à 95%?

La probabilité de rater \( n \) essais consécutifs est

\[ q = 0.999999^n \]

La probabilité d'obtenir au moins un 666666 en \( n \) essais est \(p = 1-q \). Nous devons résoudre l'inéquation

\[ 1- 0.999999^n \ge 0.95 \] \[ 0.999999^n \le 0.05 \] \[ \ln(0.999999^n) \le \ln(0.05) \] \[ n \ln(0.999999) \le \ln(0.05) \]

où \( \ln(0.999999) \) est négatif

\[ n \ge \frac{\ln(0.05)}{\ln(0.999999)} \] \[ n \ge 2'995'731 \]

Ainsi, en effectuant un peu moins que trois millions d'essais, on est sûr à 95% d'obtenir au moins un 666666.

En réalisant un grand nombre d'essais, un évènement très peu probable devient assez probable.

On peut rapprocher ce résultat des milliards d'années durant lesquels s'est déroulée l'évolution de la vie sur terre.

La probabilité dépend de la précision de la description

L'appréciation subjective de la probabilité d'un évènement est généralement surestimée par le flou qui entoure sa description.

Prenons l'exemple d'une ficelle d'un mètre de longueur que l'on coupe n'importe où au hasard. Supposons que la distribution est uniforme. Quelle est la probabilité de la couper à l'abscisse x?

Si on mesure la position au millimètre, on peut se demander par exemple quelle est la probabilité de la couper à une abscisse située dans l'intervalle [0.707, 0.708[? La réponse est 0.001

Si on mesure la position au micromètre, on peut se demander par exemple quelle est la probabilité de la couper à une abscisse située dans l'intervalle [0.707106, 0.707107[? La réponse est 0.000001

Quand l'exigence de précision augmente, la probabilité de l'évènement diminue.

Si on exige l'exactitude, on peut se demander par exemple quelle est la probabilité de la couper à l'abscisse \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) exactement? La réponse est 0 exactement: il s'agit d'un évènement de probabilité nulle, ce qui ne signifie nullement que l'évènement soit impossible!

Il faut noter que, chaque fois que l'on coupe la ficelle, un évènement complètement improbable survient, sauf si l'on renonce à la précision. Des évènements de probabilité nulle surviennent en nombre!