De la fréquence empirique à la probabilité: la loi des grands nombres de Bernoulli

La loi des grands nombres de Bernoulli

L'événement "six" consiste à lancer un dé à jouer. L'expérience est réussie si l'on a obtenu un "six", sinon elle est ratée. Cette expérience aléatoire (ou essai) est répétée un certain nombre de fois. On calcule ensuite, pour l'événement "six", la

\[ \left( \text{fréquence empirique de l'événement} \right) = \frac{ \text{nombre de succès}}{ \text{nombre d'essais} } \]

Vu que le résultat du lancer d'un dé est imprévisible, on pourrait penser qu'on ne peut rien prévoir à propos de la fréquence empirique. Nous allons montrer le contraire au moyen d'une simulation. La loi des grands nombres de Bernoulli affirme que

Dans notre exemple, la probabilité de l'événement "six" est de une chance sur six, c'est-à-dire \( \frac{1}{6} = 0.166666667 \)

La loi des grands nombres de Bernoulli nous permet donc de passer des fréquences empiriques à la probabilité, mais avec une restriction de taille: quoique valide pour un très grand nombre d'essais, elle ne peut pas être appliquée à un petit nombre d'expériences !

Simulations

Pour illustrer cette loi, des simulations sont effectuées avec les nombres d'essais suivants: \( 1, 6, 60, 600, 6000, 60000, 600000 \), chaque simulation étant répétée 12 fois.

Observer que

• lorsque le nombre d'essais est petit, les fréquences empiriques fluctuent beaucoup et sont donc imprévisibles;
• lorsque le nombre d'essais est grand, la fréquence empirique est stable et proche de la probabilité; elle devient donc prévisible !