Approximation de la loi binomiale par la loi normaleExemple: nombre de six obtenus en lançant n fois un dé à jouer (p = 1/6, q = 5/6) |
Probabilités de la loi binomiale B(n, p) où p = 1/6
\[ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k} \quad \text{où} \quad q=1-p \]
Approximation de la loi binomiale B(n, p) par la loi normale N(np, √npq)La loi binomiale étant discrète, elle est représentée par un diagramme en bâtons. La loi normale, étant continue, est représentée une courbe. L'approximation de la loi binomiale par la loi normale est une loi continue représentée par un histogramme. \( X \) = nombre de six en \( n \) lancers (la variable aléatoire discrète est convertie en variable aléatoire continue). Densité normale \( N(\mu, \sigma ) \): \[ f(x) = \frac{e^{-v^2/2}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \]où \( \quad v = \frac{x-\mu}{\sigma} \), \( \quad \mu = n p \quad \) et \( \quad \sigma = \sqrt{n p q} \) Approximation par la loi normale N(0, 1) de la loi binomiale centrée réduite\( X \) = nombre de six en \( n \) lancers. Centrage et réduction: \[ Y = \frac{x-\mu}{\sigma} \]où \( \quad \mu = n p \quad \) et \( \quad \sigma = \sqrt{n p q} \) La variable aléatoire \( Y \) est continue; les probabilités sont représentées par les aires des rectangles: \[ \text{hauteur} = \frac{\text{probabilité}}{\text{largeur}} = (\text{densité de probabilité}) \]Densité normale \( N(0, 1) \): \[ f(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} \] |
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