Il existe une infinité de nombres premiers, démonstration
Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et et lui - même.
Ainsi, les nombres suivants sont premiers:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
En d'autres termes, un nombre n n'est pas premier si et seulement s'il possède (au moins) un diviseur d tel que 1 < d < n. Ainsi les nombres suivants ne sont pas premiers:
Démonstration de ≪ Il existe une infinité de nombres premiers ≫
Supposons par l'absurde qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers 
.
Formons le produit de ces nombres augmenté de 1, c'est-à-dire 
.
Le reste de la division de p par 
est 1; le reste de la division de p par 
est 1; ... ; le reste de la division de p par 
est 1.
Puisque p n'est divisible par aucun nombre premier, p est premier, ce qui contredit l'hypothèse que la liste 
contient tous les nombres premiers.
C'est donc le contraire qui est vrai, à savoir ≪ Il existe une infinité de nombres premiers ≫.
Mise en garde
La proposition suivante est fausse: ≪ Considérons la liste des n premiers nombres premiers 
. Alors le produit de ces nombres augmenté de 1, c'est-à-dire 
, est un nombre premier. ≫
Voici un contre-exemple. Pour n = 6, la liste des nombres premiers est {2, 3, 5, 7, 11, 13}
et le nombre p = 2×3×5×7×11×13 + 1 =30031 = 59×509 n'est pas premier!