Partition

Exemple type

Combien de mots de moins de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet?

Enumérons les cas possibles: les sous-ensembles suivants {mots de 0 lettre}, {mots de 1 lettre}, {mots de 2 lettres}, {mots de 3 lettres}, {mots de 4 lettres}

  • sont disjoints;
  • leur réunion donne l'ensemble des {mots de moins de 5 lettres}.

Ces 5 sous-ensembles constituent une partition de l'ensemble à dénombrer.

Nombre de mots de 0 lettre: 1
Nombre de mots de 1 lettre: 26
Nombre de mots de 2 lettres [arrangements avec répétitions]: 262 = 676
Nombre de mots de 3 lettres:  263 = 17576
Nombre de mots de 4 lettres: 264 = 456976

Nombre de mots de moins de 5 lettres [partition] = 1 + 26 + 676 + 17576 + 456976 = 475255

Pour distinguer des «choix successifs» d'une «partition», on remarquera que

  • des choix successifs se rapportent à la construction d'un seul objet à dénombrer,
  • tandis qu'une partition distingue plusieurs sortes d'objets à dénombrer.

Règle des partitions

Le nombre d'éléments à dénombrer est égal à la SOMME des nombres d'éléments contenus dans les sous-ensembles d'une partition.
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