Pourquoi moins fois moins égale plus ?
Aspect algébrique
Les règles des signes sont des conséquences des règles du calcul algébrique.
L'opposé de l'opposé
Selon une propriété des groupes commutatifs notés additivement, tout nombre réel x possède un opposé noté (–x) tel que
x + (-x) = 0
Par commutativité,
(-x) + x = 0
Il s'ensuit que l'opposé de (–x) est x, donc
-(-x) = x
En particulier, pour la valeur x = 1,
-(-1) = 1
Multiplication par (-1)
Multiplier par (-1) équivaut à prendre l'opposé, donc
(-1)x = -x
En particulier, avec la valeur x = -1,
(-1)(-1) = -(-1) = 1
Une règle des signes: (-a)(-b) = a b
(-a)(-b) = (-1)a(-1)b =(-1)(-1)a b = 1 a b = a b
Résumé: pourquoi moins fois moins égale plus ?
Pourquoi (-1)(-1) x = x ?
Parce que l'opposé de l'opposé redonne la valeur de départ.
Interprétation géométrique
Une interprétation géométrique de la multiplication par (- 1)
Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de x par (-1), on construit le symétrique de x par rapport à 0, et on trouve (–x)
(-1)x = -x
Pour représenter géométriquement le résultat de la multiplication de (–x) par (-1), on construit le symétrique de (–x) par rapport à 0, ce qui donne x
(-1)(-x) = x
Résumé : pourquoi moins fois moins égale plus ?
Pourquoi (-1)(-1) x = x ?
Parce que le symétrique du symétrique redonne la position de départ.